标准DMD

  1. 根据数据定义矩阵X\mathbf{X}和Y\mathbf{Y}：

    X=(x1,…,xm−1),Y=(x2,…,xm)\mathbf{X} = (x_1, \ldots, x_{m-1}) \quad , \quad \mathbf{Y} = (x_2, \ldots, x_m)

  2. 对矩阵X\mathbf{X}进行（降维）奇异值分解（SVD），即计算U\mathbf{U}、Σ\Sigma和V\mathbf{V}，使得

    X=UΣV∗\mathbf{X} = \mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^*

    其中U∈Cn×r\mathbf{U} \in \mathbb{C}^{n \times r}、Σ∈Cr×r\Sigma \in \mathbb{C}^{r \times r}和V∈C(m−1)×r\mathbf{V} \in \mathbb{C}^{(m-1) \times r}，rr为X\mathbf{X}的秩。

  3. 设A~\tilde{\mathbf{A}}由以下定义

    A~=U∗YVΣ−1\tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{U}^* \mathbf{Y} \mathbf{V} \Sigma^{-1}

  4. 计算A~\tilde{\mathbf{A}}的特征分解，得到一组rr向量、w\mathbf{w}和特征值λ\lambda，使得

    A~w=λw\tilde{\mathbf{A}} \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}

  5. 由以下定义的DMD模式并L2范数归一化：

    φ=Uw∥Uw∥2\varphi = \frac{\mathbf{U} \mathbf{w}}{\|\mathbf{U} \mathbf{w}\|_2}

精确DMD

  1. 根据数据定义矩阵X\mathbf{X}和Y\mathbf{Y}：

    X=(x1,…,xm−1),Y=(x2,…,xm)\mathbf{X} = (x_1, \ldots, x_{m-1}) \quad , \quad \mathbf{Y} = (x_2, \ldots, x_m)

  2. 对矩阵X\mathbf{X}进行（降维）奇异值分解（SVD），即计算U\mathbf{U}、Σ\Sigma和V\mathbf{V}，使得

    X=UΣV∗\mathbf{X} = \mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^*

    其中U∈Cn×r\mathbf{U} \in \mathbb{C}^{n \times r}、Σ∈Cr×r\Sigma \in \mathbb{C}^{r \times r}和V∈C(m−1)×r\mathbf{V} \in \mathbb{C}^{(m-1) \times r}，rr为X\mathbf{X}的秩。

  3. 设A~\tilde{\mathbf{A}}由以下定义

    A~=U∗YVΣ−1\tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{U}^* \mathbf{Y} \mathbf{V} \Sigma^{-1}

  4. 计算A~\tilde{\mathbf{A}}的特征分解，得到一组rr向量、w\mathbf{w}和特征值λ\lambda，使得

    A~w=λw\tilde{\mathbf{A}} \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}

  5. 对于每一对(w,λ)(w, \lambda)，我们都有一个DMD特征值，即λ\lambda本身，以及一个由以下定义的DMD模式

    φ=1λYVΣ−1w\varphi = \frac{1}{\lambda} \mathbf{Y} \mathbf{V} \Sigma^{-1} \mathbf{w}

SPDMD

  1. 通过解决下面的优化问题，寻找一个稀疏结构，在提取模态数量与近似误差之间实现用户定义的权衡：

    minimizeαJ(α)+γ∑i=1r∣αi∣.\underset{\alpha}{\text{minimize}} \quad J(\alpha) + \gamma \sum_{i=1}^{r} |\alpha_i|.

    其中：

    J(α)=∥ΣV∗−wDαVand∥F2J(\alpha) = \|\Sigma V^* - \mathbf{w} D_{\alpha} V_{\text{and}}\|_F^2

    =∥ΣV∗−w(α10⋯00α2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯αi)(1λ1⋯λ1N−21λ2⋯λ2N−2⋮⋮⋱⋮1λm⋯λiN−2)∥F2= \|\Sigma V^* - \mathbf{w} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \alpha_i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1^{N-2} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_2^{N-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \lambda_m & \cdots & \lambda_i^{N-2} \end{pmatrix} \|_F^2

    γ\gamma 是惩罚参数，α\alpha 是未知的振幅矩阵，∑i=1r∣αi∣\sum_{i=1}^{r} |\alpha_i| 表示 DMD 振幅绝对值之和。

  2. 在实验或数值快照的近似质量与 DMD 模态数量之间达到理想的平衡后，我们固定未知振幅向量的稀疏结构，并通过求解以下约束凸优化问题，仅确定非零振幅，即抛光振幅：

    minimizeαJ(α)subject toETα=0.\begin{align*} \underset{\alpha}{\text{minimize}} \quad & J(\alpha) \\ \text{subject to} \quad & E^T \alpha = 0. \end{align*}

优化DMD

  1. 给定快照矩阵 X\mathbf{X} 和 λ\lambda 的初始猜测。

    1. 设 X1=(x1,…,xm−1),X2=(x2,…,xm),T=diag(t1−t0,t2−t1,…,tm−tm−1)\mathbf{X}_1 = (x_1, \ldots, x_{m-1}), \mathbf{X}_2 = (x_2, \ldots, x_m),T = \text{diag}(t_1 - t_0, t_2 - t_1, \ldots, t_m - t_{m-1}),根据数据定义矩阵 YY 和 ZZ：

    Y=X1+X22,Z=(X2−X1)T−1.Y = \frac{\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2}{2}, \quad Z = (\mathbf{X}_2 - \mathbf{X}_1) T^{-1}.

    1. 对矩阵 YY 进行（降维）奇异值分解（SVD），即计算 U\mathbf{U}、Σ\Sigma 和 V\mathbf{V}，使得

    Y=UΣV∗,Y = \mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^*,

    其中 U∈Cn×r\mathbf{U} \in \mathbb{C}^{n \times r}、Σ∈Cr×r\Sigma \in \mathbb{C}^{r \times r} 和 V∈Cm×r\mathbf{V} \in \mathbb{C}^{m \times r}，rr 为 YY 的秩。

    1. 设 A~\tilde{\mathbf{A}} 由以下定义

    A~=U∗ZVΣ−1.\tilde{\mathbf{A}} = \mathbf{U}^* Z \mathbf{V} \Sigma^{-1}.

    1. 计算 A~\tilde{\mathbf{A}} 的特征分解，得到一组 rr 向量、w\mathbf{w} 和特征值 λ\lambda，使得

    A~w=λw.\tilde{\mathbf{A}} \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}.

    1. 返回快照矩阵X1=(x1,…,xm)\mathbf{X}_1 = (x_1, \ldots, x_{m})和特征值λ\lambda。

  2. 计算 X\mathbf{X} 的秩 rr 截断 SVD，即计算 Ur∈Cn×r\mathbf{U}_r \in \mathbb{C}^{n \times r}，Σr∈Cr×r\Sigma_r \in \mathbb{C}^{r \times r} 和 Vr∈Cm×r\mathbf{V}_r \in \mathbb{C}^{ m \times r}，使得

    Xr=UrΣrVr∗.\mathbf{X}_r = \mathbf{U}_r \Sigma_r \mathbf{V}_r^*.

  3. 计算求解 λ^\hat{\lambda} 和 B^\hat{\mathbf{B}}

    minimize∥VrΣr−Φ(λ)B∥Fover λ∈Cr,B∈Cr×r,\text{minimize} \|\mathbf{V}_r \Sigma_r - \Phi(\lambda) \mathbf{B}\|_F \quad \text{over } \lambda \in \mathbb{C}^r, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^{r \times r},

    使用变量投影算法逼近线性算子A以降低噪声影响.其中，特征值λ\lambda作为迭代参数，决定了特征函数Φ\Phi和振幅相关矩阵B\mathbf{B}的取值。

  4. 设置 λi=λ^i\lambda_i = \hat{\lambda}_i 和计算归一化模态：

    φi=1∥UrB^T(:,i)∥2UrB^T(:,i),\varphi_i = \frac{1}{\|\mathbf{U}_r \hat{\mathbf{B}}^T(:,i)\|_2} \mathbf{U}_r \hat{\mathbf{B}}^T(:,i),

    保存振幅 bi=∥UrB^T(:,i)∥2b_i = \|\mathbf{U}_r \hat{\mathbf{B}}^T(:,i)\|_2。

高阶DMD

  1. 两次截断(HOSVD截断、建立高阶矩阵、SVD截断)

    1. 第一次HOSVD截断奇异值：

    V^i1i2i3kR=∑p1=1P1∑p2=1P2∑p3=1P3∑n=1NSp1p2p3nUi1p1Wi2p2(y)Wi3p3(x)Tkn\hat{V}_{i_1i_2i_3k}^R = \sum_{p_1=1}^{P_1} \sum_{p_2=1}^{P_2} \sum_{p_3=1}^{P_3} \sum_{n=1}^{N} S_{p_1p_2p_3n} U_{i_1p_1} W_{i_2p_2}^{(y)} W_{i_3p_3}^{(x)} T_{kn}
    时间矩阵 TT 进行奇异值截断后的矩阵，称为 V^1K\hat{V}_1^K。

    1. 利用高阶Koopman假设建立高阶矩阵:
      V^d+1K≃A^1V^1K−d+A^2V^2K−d+1+…+A^dV^dK−1\hat{V}_{d+1}^K \simeq \hat{A}_1 \hat{V}_1^{K-d} + \hat{A}_2 \hat{V}_2^{K-d+1} + \ldots + \hat{A}_d \hat{V}_d^{K-1}

    [V^2K−d+1⋮V^dK−1V^d+1K]=[0I0⋯0000I⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯I0A^1A^2A^3⋯A^d−1A^d][V^1K−dV^2K−d+1⋮V^dK−1]\begin{align*} \begin{bmatrix} \hat{V}_2^{K-d+1} \\ \vdots \\ \hat{V}_d^{K-1} \\ \hat{V}_{d+1}^K \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & I & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & I & 0 \\ \hat{A}_1 & \hat{A}_2 & \hat{A}_3 & \cdots & \hat{A}_{d-1} & \hat{A}_d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{V}_1^{K-d} \\ \hat{V}_2^{K-d+1} \\ \vdots \\ \hat{V}_d^{K-1} \end{bmatrix} \end{align*}

    1. 第二次SVD截断奇异值:
      (V^∗)1K−d+1=U∗Σ∗(T∗)T=U∗(V^1K−d+1)∗(\hat{V}^*)_1^{K-d+1} = U^* \Sigma^* (T^*)^T = U^* (\hat{V}_1^{K-d+1})^*

  2. 对V^1K−d\hat{V}_1^{K-d}进行标准动态模式分解，包括总体最小二乘法拟合并归一化处理得到振幅和模态am、uma_m、u_m。

  3. 能量排序准则(模态截断准则)
    Im=∑k=1K∣ame(δn+iωn)(k−1)Δt∣∥um∥F2×Δtfor k=1,…,KI_m = \sum_{k=1}^{K} \left| a_m e^{(\delta_n + i \omega_n)(k-1) \Delta t} \right| \left\| u_m \right\|_F^2 \times \Delta t \quad \text{for } k = 1, \ldots, K

IM+1I1≤εDMD\frac{I_{M+1}}{I_1} \leq \varepsilon_{DMD}

SPDMD

优化DMD

高阶DMD

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